ASYNC-RED: A PROVABLY CONVERGENT ASYN-CHRONOUS BLOCK PARALLEL STOCHASTIC METHOD USING DEEP DENOISING PRIORS

Abstract

Regularization by denoising (RED) is a recently developed framework for solving inverse problems by integrating advanced denoisers as image priors. Recent work has shown its state-of-the-art performance when combined with pre-trained deep denoisers. However, current RED algorithms are inadequate for parallel processing on multicore systems. We address this issue by proposing a new asynchronous RED (ASYNC-RED) algorithm that enables asynchronous parallel processing of data, making it significantly faster than its serial counterparts for large-scale inverse problems. The computational complexity of ASYNC-RED is further reduced by using a random subset of measurements at every iteration. We present complete theoretical analysis of the algorithm by establishing its convergence under explicit assumptions on the data-fidelity and the denoiser. We validate ASYNC-RED on image recovery using pre-trained deep denoisers as priors.

1. INTRODUCTION

Imaging inverse problems seek to recover an unknown image x 2 R n from its noisy measurements y 2 R m . Such problems arise in many fields, ranging from low-level computer vision to biomedical imaging. Since many imaging inverse problems are ill-posed, it is common to regularize the solution by using prior information on the unknown image. Widely-adopted image priors include total variation, low-rank penalties, and transform-domain sparsity (Rudin et al., 1992; Figueiredo & Nowak, 2001; 2003; Hu et al., 2012; Elad & Aharon, 2006) . There has been considerable recent interest in plug-and-play priors (PnP) (Venkatakrishnan et al., 2013; Sreehari et al., 2016) and regularization by denoising (RED) (Romano et al., 2017) , as frameworks for exploiting image denoisers as priors for image recovery. The popularity of deep learning has led to a wide adoption of deep denoisers within PnP/RED, leading to their state-of-the-art performance in a variety of applications, including image restoration (Mataev et al., 2019) , phase retrieval (Metzler et al., 2018) , and tomographic imaging (Wu et al., 2020) . Their empirical success has also prompted a follow-up theoretical work clarifying the existence of explicit regularizers (Reehorst & Schniter, 2019) , providing new interpretations based on fixed-point projections (Cohen et al., 2020) , and analyzing their coordinate/online variants (Sun et al., 2019a; Wu et al., 2020) . Nonetheless, current PnP/RED algorithms are inherently serial. As illustrated in Fig. 1 , this makes them suboptimal on multicore systems that are often required for processing large-scale datasets (Recht et al., 2011) , such as those involving biomedical (Ong et al., 2020) and astronomical images (Akiyama et al., 2019) We address this gap by proposing a novel asynchronous RED (ASYNC-RED) algorithm. The algorithm decomposes the inference problem into a sequence of partial (block-coordinate) updates on x executed asynchronously in parallel over a multicore system. ASYNC-RED leads to a more efficient usage of available cores by avoiding synchronization of partial updates. ASYNC-RED is also scalable in terms of the number of measurements, since it processes only a small random subset of y at every iteration. We present two new theoretical results on the convergence of ASYNC-RED based on a unified set of explicit assumptions on the data-fidelity and the denoiser. Specifically, we establish its fixed-point convergence in the batch setting and extend this analysis to the randomized minibatch scenario. Our results extend recent work on serial block-coordinate RED (BC-RED) (Sun et al., x N 6 l k N H Y j 9 t q 9 H B v / 6 2 s m F R f J q c 5 T 9 i 6 m Q c J 9 7 l E N 6 H y a u / H F 6 O L B x n B 7 W F 1 k 2 R g 1 x o b T X J O L h 4 O v p z P h Z T F L t B d R p X 4 a D V P 9 r q B S c y 9 i 5 d o 0 U y y l 3 i U N W O E K c a m p q 0 p S X 5 s k l c J n y q y J R t 9 d Z T T i O i c Q E j H V y 6 S x 8 k W i O 5 l u B C 5 X U D k j M d U h U X n s i m g p y 2 C b B F n X V C Z C h z w J e o E J 9 5 g v q d c O 7 4 k Y n N o O S 3 w h y e j 7 x 1 u E a W + 7 l x t z T w o j a G l z L R G B p G m Y 9 y W I y / t w b R K u Y b M e g c F n v Q C P a 1 Z W E Y E U W U r g u S p Q f 2 f V y N x b l C b Q 5 0 E m b w l m N N E C V l 5 H w O r X T Y s k 7 O p q v a 9 R F A j J d Q i L L i E S H 9 X q q P K 2 w I Z V y 9 U h E 5 L d y m N J F s O G 4 m o V W p C Q X j M S M a 2 Z J M b H 5 I r N x V m k u R T z t h q Q G b D E B L N V 3 Q E o i 6 g E N f 5 X e B i a M 3 J r J z K f q T B K q 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We numerically validate ASYNC-RED on image recovery from linear and noisy measurements using pre-trained deep denoisers as image priors.  W S K S v s p R z R d 3 O G 9 8 / M f D U H i M o = " > A A A M M X i c j Z b d T t x G F M e d 9 C t h + 5 G 0 6 l V v R i C k V K J 0 F 0 W q e l E p s C S A h N C W A I n S T d H Y O 7 a n 2 B 4 z M 2 b X W H 6 H 3 r a v 0 a f J X d X b v k T P 2 J 5 j m 9 1 W t Q Q + / p 1 z 5 u N / z n j t p h F X e j h 8 d + / + e + 9 / 8 O F H D x 6 u D T 7 + 5 N P P H j 3 + / E K J T H r s 3 B O R k K 9 d q l j E E 3 a u u Y 7 Y 6 1 Q y G r s R e + V e j Y 3 / 1 Q 2 T i o v k T O c p e x v T I O E + 9 6 g G d D H N 3 f h y 5 / L R x n B 7 W F 1 k 2 R g 1 x o b T X J P L x 4 M v p z P h Z T F L t B d R p X 4 a D V P 9 t q B S c y 9 i 5 d o 0 U y y l 3 h U N W O E K c a W p q 0 p S X 5 s k l c J n y q y J R t 9 c Z z T i O i c Q E j H V y 6 S x 8 k W i O 5 l u B C 5 X U D k j M d U h U X n s i m g p y 2 C b B F k 3 V C Z C h z w J e o E J 9 5 g v q d c O 7 4 k Y n N o O S 3 w h y e j b n S 3 C t L f d y 4 2 5 J 4 U R t L S 5 l o h A 0 j T M + x L E 5 U O 4 N g n X s F m P w O C z X o D H N S u r i E C K L C X w X B W o v 7 N q Z O 4 t S h P o 8 y C T d w Q z m m g B K 6 8 j Y P X r p k U S d n 2 9 3 t c o C o T k O o R F l x C J j 2 p 1 V H l X Y M O q 5 e q Q C c n u 5 L E k i 2 F D c b U K L U h I b x i J m N Z M E u N j c s X m 4 i z S X I p 5 W w 3 I D F h i g t m q 7 g C U R V S C G v 8 r P A z N G b m z E 5 n P V B g l 1 U J n A h Y 4 I y Z K E Z 4 Q W o / S S 1 h U J 6 5 c W 9 v c 3 C Q T K Y Q P k 1 g N d B 6 x I o 0 o T 0 r T 5 M Y g P z Q l 3 y I z 5 v O E m 3 0 D l C K m y d o 0 Y f M m u Y A z k Q p V + c t i 0 n n o R b W D l M V + a / d i m n t Z n D V G z x u x O K Z l c V z d e h 5 P S B G B o H l Z j N H s R c B B z + K 0 n n 2 3 t f u j w L Z h 7 n F 1 q 3 U S q S m K k C A V r N / 8 J c V 0 a 2 o 7 c 7 p V 1 g 4 q g 5 i D y 3 S x S O u 7 8 q F I w X Q L H G X Z i a O L f 4 m j C 4 y L e L w U B A z 8 U B 4 w u K 7 j V k 1 a z 0 e a g B W z 1 R M 1 A S p L l w K A 4 U p 4 4 i / 5 g a E f i r 9 A h 3 n A L Y i g X b o I L L 5 l E j H Y F v u 8 H Q V s i 2 f K R z y F R r R 8 P x m f n F C l i 2 K q 2 U I X 1 X P 5 8 x R Q 2 Z T O g 1 O q K b y C 6 4 x j o 0 R x f N k O p 3 m S k 1 q L J q X 3 i q v K 5 c Y w A / y j u F / X I h e R Z 5 G H i F n E E I U W h Y i U R Q r R w q K 2 F w K L A k S 5 R T m i W 4 t u E U m L J K J r i 6 4 R J R a 1 X Z p Z l C E 6 t u g Y 0 Y 1 F N 4 j m F s 0 R i Z g F K G P 9 h D 4 4 e L r 1 V U 9 l p 0 + E o f A 3 t G z X x u 5 i 2 L 5 F + 4 i O L D p a V V g y h 1 8 F A n 3 C J F + g 5 n U r V b L b J r J C o y v v u 2 4 7 r t t + 6 y 1 N F 1 K N U 4 E N S X M + Y + Z E 9 V J W A 0 / v P 3 i R A L A 4 k 0 L W s g n Y = " > A A A M M X i c j Z b d b t x E F M f d 8 t V m + W h B X H E z S h S p S C H d L Z U Q F 0 h N N m 0 S K Y q W N E m r s i U a e 8 f 2 E N v j z I y z 6 1 h + B 2 7 h N X i a 3 i F u e Q n O where g is the data-fidelity term that ensures consistency of x with the measured data y and h is the regularizer that infuses the prior knowledge on x. For example, consider the smooth `2-norm data-fidelity term g(x) = ky Axk 2 2 , which assumes a linear observation model y = Ax + e, and the nonsmooth TV regularizer h(x) = ⌧ kDxk 1 , where ⌧ > 0 is the regularization parameter and D is the image gradient (Rudin et al., 1992) . Regularization by denoising (RED). RED is a recent methodology for imaging inverse problems that seeks vectors x ⇤ 2 R n satisfying G(x ⇤ ) = rg(x ⇤ ) + ⌧ (x ⇤ D (x ⇤ )) = 0 , x ⇤ 2 zer(G) := {x 2 R n : G(x) = 0} (2) where rg denotes the gradient of the data-fidelity term and D : R n ! R n is an image denoiser parameterized by > 0. Under additional technical assumptions, the solutions x ⇤ 2 zer(G) can be associated with an explicit objective function of form (1). Specifically, when D is locally homogeneous and has a symmetric Jacobian satisfying strong passivity (Romano et al., 2017; Reehorst & Schniter, 2019) , H(x) := x D (x) corresponds to the gradient of a convex regularizer h(x) = 1 2 x T (x D (x)). (3) A simple strategy, known as GM-RED, for computing x ⇤ 2 zer(G) is based on the first-order fixed-point iteration x t = x t 1 G(x t 1 ), with G : R n ! R n , where > 0 denotes the stepsize. In this paper, we extend this first-order RED algorithm to design ASYNC-RED. Since many denoisers do not satisfy the assumptions necessary for having an explicit objective (Reehorst & Schniter, 2019) , our theoretical analysis considers a broader setting where D does not necessarily correspond to any explicit regularizer. The benefit of our analysis is that it accommodates powerful deep denoisers (such as DnCNN (Zhang et al., 2017a) ) that have been shown to achieve the state-of-the-art performance (Sun et al., 2019a; Wu et al., 2020; Cohen et al., 2020) .



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t e x i t s h a 1 _ b a s e 6 4 = "+ 7 + m D 4 Q o l a 2 M F 8 v L Z 0 2 4 U e v U r M M = " > A A A M M X i c j Z b N b t w 2 E M e V 9 C v x 9 i N p 0 V M v h A 0 D K e C 6 u 0 G A I o c A s d e J b c A w t o 7 t B O m m B q W l J N a S K J O U d 2 V B 7 9 B r + x p 9 m t y K X v s S H U r i S P J u i w q w N fr N D D / + M 9 T K T S O u 9 H D 4 / s 7 d D z 7 8 6 O N P 7 t 1 f G 3 z 6 2 e d f P H j 4 5 b k S m f T Y m S c i I d + 4 V L

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Figure 1: Visual illustration of serial and parallel image recovery on a multicore system. (a) Serial processing uses only one core of the system for every iteration. (b) Synchronous parallel processing has to wait for the slowest core to finish before starting the next iteration. (c) Asynchronous parallel processing can continuously iterate using all the cores without waiting. (d) Asynchronous parallel processing using the stochastic gradient leads to additional flexibility. (a), (b), and (c) use all the corresponding measurements at every iteration, while (d) uses only a small random subset at a time. ASYNC-RED adopts the schemes shown in (c) and (d).

Inverse problems are traditionally formulated as a composite optimization problem b x = arg min x2R n g(x) + h(x),

