- IS_GCD_UNIQUE
-
|- !a b c d. is_gcd a b c /\ is_gcd a b d ==> (c = d)
- IS_GCD_REF
-
|- !a. is_gcd a a a
- IS_GCD_SYM
-
|- !a b c. is_gcd a b c = is_gcd b a c
- IS_GCD_0R
-
|- !a. is_gcd 0 a a
- PRIME_IS_GCD
-
|- !p b. prime p ==> divides p b \/ is_gcd p b 1
- IS_GCD_MINUS_L
-
|- !a b c. b <= a /\ is_gcd (a - b) b c ==> is_gcd a b c
- IS_GCD_MINUS_R
-
|- !a b c. a <= b /\ is_gcd a (b - a) c ==> is_gcd a b c
- gcd_ind
-
|- !P.
(!y. P 0 y) /\ (!x. P (SUC x) 0) /\
(!x y.
(~(y <= x) ==> P (SUC x) (y - x)) /\
(y <= x ==> P (x - y) (SUC y)) ==>
P (SUC x) (SUC y)) ==>
!v v1. P v v1
- gcd_def
-
|- (gcd 0 y = y) /\ (gcd (SUC x) 0 = SUC x) /\
(gcd (SUC x) (SUC y) =
(if y <= x then gcd (x - y) (SUC y) else gcd (SUC x) (y - x)))
- GCD_IS_GCD
-
|- !a b. is_gcd a b (gcd a b)
- GCD_REF
-
|- !a. gcd a a = a
- GCD_SYM
-
|- !a b. gcd a b = gcd b a
- GCD_0R
-
|- !a. gcd a 0 = a
- GCD_0L
-
|- !a. gcd 0 a = a
- GCD_ADD_R
-
|- !a b. gcd a (a + b) = gcd a b
- GCD_ADD_L
-
|- !a b. gcd (a + b) a = gcd a b
- GCD_EQ_0
-
|- !n m. (gcd n m = 0) = (n = 0) /\ (m = 0)
- PRIME_GCD
-
|- !p b. prime p ==> divides p b \/ (gcd p b = 1)
- L_EUCLIDES
-
|- !a b c. (gcd a b = 1) /\ divides b (a * c) ==> divides b c
- P_EUCLIDES
-
|- !p a b. prime p /\ divides p (a * b) ==> divides p a \/ divides p b
- FACTOR_OUT_GCD
-
|- !n m.
~(n = 0) /\ ~(m = 0) ==>
?p q. (n = p * gcd n m) /\ (m = q * gcd n m) /\ (gcd p q = 1)
- LINEAR_GCD
-
|- !n m. ~(n = 0) ==> ?p q. p * n = q * m + gcd m n
- GCD_EFFICIENTLY
-
|- !a b. gcd a b = (if a = 0 then b else gcd (b MOD a) a)