- CLOSURE
-
|- GROUP (G,prod) ==> (!x y. G x /\ G y ==> G (prod x y))
- GROUP_ASSOC
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y z. G x /\ G y /\ G z ==> (prod (prod x y) z = prod x (prod y z)))
- ID_LEMMA
-
|- GROUP (G,prod) ==>
G (ID (G,prod)) /\
(!x. G x ==> (prod (ID (G,prod)) x = x)) /\
(!x. G x ==> (prod x (ID (G,prod)) = x)) /\
(!x. G x ==> (?y. G y /\ (prod y x = ID (G,prod))))
- INV_CLOSURE
-
|- GROUP (G,prod) ==> (!x. G x ==> G (INV (G,prod) x))
- LEFT_RIGHT_INV
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y.
G x /\ G y ==> (prod y x = ID (G,prod)) ==> (prod x y = ID (G,prod)))
- INV_LEMMA
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x.
G x ==>
(prod (INV (G,prod) x) x = ID (G,prod)) /\
(prod x (INV (G,prod) x) = ID (G,prod)))
- LEFT_CANCELLATION
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y z. G x /\ G y /\ G z ==> (prod x y = prod x z) ==> (y = z))
- RIGHT_CANCELLATION
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y z. G x /\ G y /\ G z ==> (prod y x = prod z x) ==> (y = z))
- RIGHT_ONE_ONE_ONTO
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y.
G x /\ G y ==>
(?z. G z /\ (prod x z = y) /\ (!u. G u /\ (prod x u = y) ==> (u = z))))
- LEFT_ONE_ONE_ONTO
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y.
G x /\ G y ==>
(?z. G z /\ (prod z x = y) /\ (!u. G u /\ (prod u x = y) ==> (u = z))))
- UNIQUE_ID
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!e.
G e /\ ((?x. G x /\ (prod e x = x)) \/ (?x. G x /\ (prod x e = x))) ==>
(e = ID (G,prod)))
- UNIQUE_INV
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x.
G x ==> (!u. G u /\ (prod u x = ID (G,prod)) ==> (u = INV (G,prod) x)))
- INV_ID_LEMMA
-
|- GROUP (G,prod) ==> (INV (G,prod) (ID (G,prod)) = ID (G,prod))
- INV_INV_LEMMA
-
|- GROUP (G,prod) ==> (!x. G x ==> (INV (G,prod) (INV (G,prod) x) = x))
- DIST_INV_LEMMA
-
|- GROUP (G,prod) ==>
(!x y.
G x /\ G y ==>
(prod (INV (G,prod) x) (INV (G,prod) y) = INV (G,prod) (prod y x)))